LOGIKA PROPOSISI 

 -)Proposisi dan Kalimat terbuka

Perhatikan  stetemen-statemen dalam bahasa sehari-hari berikut ini :

1. Satu hari setelah hari Sabtu adalah hari Minggu

2. Semarang adalah ibukota Indonesia

3. Hari Ini hari Apa ya?

4. Silahkan keluar ruang !

Perhatikan pula statemen-statemen dalam ekspresi matematika berikut ini :

1. 2 + 3 = 11

2. (3+5)10 < 101

3. (X + 10 ) >15

4. (X-Y) = Y +20

Jika diperhatikan kalimat-kalimat di  atas, baik kalimat sehari-hari maupun

statemen matematika maka ada perbedaan yang dapat ditetapkan, yaitu :

- Kalimat pertama dan kalimat kedua adalah kalimat-kalimat yang dapat

ditetapkan sebagai kalimat yang BENAR atau kalimat yang SALAH.

Dengan kata lain statemen pertama dan kedua adalah statemen-statemen

yang dapat diberi nilai kebenaran.

- Kalimat-kalimat yang ketiga dan keempat adalah kalimat-kalimat  yang

tidak dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH, atau statemen tersebut

tidak dapat diberi nilai kebenaran.

Definisi 1: Statemen-statemen yang dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH,

atau statemen yang dapat diberi NILAI  KEBENARAN  dinamakan

sebagai PROPOSISI.

Definisi 2 : Jika statemen tidak dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH

tetapi dengan cara tertentu dapat diubah menjadi statemen BENAR atau

SALAH maka statemen tersebut dinamakan sebagai  KALIMAT

1Logika proposisi

2

TERBUKA.  Kalimat terbuka kadang disebut juga sebagai  FUNGSI

PROPOSISI.

Contoh 1.1: Manakah dari statemen-statemen berikut yang merupakan proposisi

dan manakah yang merupakan kalimat terbuka.

1. Indonesia adalah negara miskin

2. Jepang adalah negara miskin juga

3. Negara itu adalah negara miskin

4. (2 + 9 ) =X +13

Jawab :   

1. Statemen 1. adalah proposisi, bernilai BENAR

2. Statemen 2 adalah proposisi, bernilai SALAH

3. Statemen 3 adalah kalimat terbuka, bisa benar bisa salah

4. Statemen 4 adalah kalimat terbuka, bisa benar bisa salah

1.2. Pengubahan Kalimat terbuka menjadi proposisi

Kalimat terbuka pada statemen 3  dapat diubah menjadi BENAR atau

SALAH jika variabel Negara digantikan negara tertentu. Demikian juga statemen 4

dapat diubah menjadi benar atau salah dengan mengganti X dengan nilai tertentu.

Dalam pembahasan lain mencari X pada kalimat terbuka dalam suatu

hubungan persamaan atau pertidaksamaan  sedemikian sehingga kalimat terbuka

MENJADI PROPOSISI yang BERNILAI BENAR sering dinamakan menyelesaikan

persamaan/pertidaksamaan atau mencari akar persamaan/pertidaksamaan.

Contoh 1.2. : Perhatikan kalimat terbuka berikut :

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real

  Ubahlah agar menjadi proposisi. Ubahlah pula menjadi proposisi

YANG BENAR.

Jawab :  Untuk "sekedar" merubah menjadi proposisi maka sembarang nilai X dapat

diberikan, sehingga misalnya :

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real dan X adalah 5 (sembarang)

    Kalimat tersebut adalah proposisi (meskipun nilainya salah).

    Untuk merubah menjadi proposisi yang benar, kalimatnya : Logika proposisi

3

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real dan X bernilai 1 ATAU 3. 

1.2. Operasi pada  proposisi

Satu atau lebih proposisi dapat dioperasikan membentuk proposisi baru

dengan beberapa operasi logika.

a. NEGASI ( ¬ )

Negasi dari suatu proposisi p adalah proposisi yang memiliki nilai kebenaran

KEBALIKAN (ingkaran) dari nilai kebenaran proposisi p. Negasi dari p

dinotasikan sebagai : ¬ p

Negasi dari suatu proposisi memiliki kebenaran seperti tersaji dari tabel

kebenaran sebagai berikut :

p  ¬ p

T

F

F

T

       T = True

       F = False

Contoh 1.3. : carilah negasi dari proposisi-proposisi berikut :

1. Jakarta ibukata indonesia

2. 2+3 =7

Jawab :

1. Tidaklah benar Jakarta ibukota indonesia

2. Tidak benar bahwa 2+3=7

b. KONJUNGSI  (∧) (AND)

Jika dimiliki proposisi p dan q maka konjungsi (dibaca :"DAN") dari proposisi p

dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut.

P q  p ∧ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F Logika proposisi

4

Contoh 1.4 :

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi majemuk berikut :

Jika p bernilai T dan q bernilai F tentukan nilai kebenaran proposisi berikut :

1. ¬ p ∧q 

2. (p∧q) ∧ ¬ p

3. ¬ (p∧q) ∧ (¬ p)

Jawab :

Berdasarkan nilai awal p dan q dan tabel kebenaran adalah :

1. ¬ T ∧ F  ⇔ F ∧ F  

                     ⇔ F

2. (T∧F) ∧ ¬ T  ⇔ (F) ∧ ¬ T 

                              ⇔ (F) ∧  F 

                              ⇔ F

3. ¬ (T∧F) ∧ (¬ T) ⇔ ¬ (F) ∧ (F) 

⇔ T ∧ (F)

⇔ F

c. DISJUNGSI  (∨) (OR)

Jika dimiliki proposisi p dan q maka konjungsi (dibaca :"ATAU") dari proposisi 

p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut. 

P q  p ∨ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

T

T

F

Contoh 1.5. :

Buatlah notasi-notasi yang sesuai untuk pernyataan-pernyataan berikut :

1. Tidak benar bahwa saya tidak datang ke pesta Logika proposisi

5

2. Saya akan datang ke tempatmu jumat atau selain senin

3. Saya dan dia makan di rumah atau kamu makan di restoran

Jawab :

1.  p="pergi ke pesta" , kalimat pertama di notasikan sebagai   ¬ ¬ p

2.  p ="saya datang ke tempatmu jumat" dan q="saya datang ketempat mu senin"

     proposisi no.2 menjadi : p ∨ (¬q)

3. p="saya makan dirumah"  , q="dia makan dirumah"  r="kamu mmakan di

restoran"

proposisi no.3. menjadi : (p ∧ q) ∨ r

Contoh 1.6. :

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut jika :

P = T , q = T dan r = T

1. ¬p ∨ ¬q 

2. ( p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r)

3. ¬(p∨q) ∧(¬q)∨(p∧r)

Jawab:

1. ¬p ∨ ¬q  ⇔ ¬T ∨ ¬T  

                      ⇔ F ∨ F 

                      ⇔ F 

2. ( p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) ⇔  ( T ∧ ¬T) ∨ (T ∧ T) 

                                     ⇔  ( T ∧ F) ∨ (T ∧ T)

⇔ ( F) ∨ (T ) 

⇔ T

3. ¬(p∨q) ∧(¬q)∨(p∧r) ⇔ ¬(T∨T) ∧(¬T)∨(T∧T) 

                                         ⇔ ¬(T) ∧(F)∨(T) 

                                         ⇔ (F) ∧(F)∨(T) 

                                         ⇔ (F)∨ (T) 

                                         ⇔ T Logika proposisi

6 d. EXCLUSIVE OR (XOR)  (⊕)

Jika dimiliki proposisi  p dan  q maka EXCLUSIVE OR (XOR) dari proposisi  p

dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut.

P q  p ⊕ q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

T

F

Perlu diberi catatan untuk mudah membedakan OR dan XOR adalah pada XOR

hanya kan bernilai TRUE jika dau proposisi bernilai berbeda: T dan F atau F dan T .

 e. IMPLIKASI   (→  ) 

Jika dimiliki proposisi  p dan  q maka IMPLIKASI pÆq  (dibaca : JIKA p

MAKA q) dari proposisi  p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai

berikut.

P q p Æ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

T

T

Dalam implikasi pÆq maka : 

p disebut hipotesis/antesede/premis

q disebut konklusi /kesimpulan

Catatan : pÆq meskipun dibaca jika p maka q tidaklah sama dengan statemen

dalam bahasa pemrograman, yaitu statemen : if .. then

Dalam IMPLIKASI :  p  Æ  q  maka baik p maupun q keduanya adalah proposisi

yang dapat bernilai benar atau salah.

Baca selengkapnya »