KUANTOR EXISTENSIAL (existensial  quantifier): ∃

"disimbolkan dengan  ∃=dibaca ADA BEBERAPA/ SEBAGIAN"

Contoh : 

Fungsi proposisi : Q(x)="x

2

 -1 >0" , untuk semesta x bilangan real

Belum memiliki nilai kebenaran.

Jika diberi kuantor  ∃ akan menjadi proposisi :

∃x Q(x)="x

2

 -1 >0" , x∈ℜ   

dibaca:" Ada sebagian x dengan x bilangan real berlaku x

2

 -1 >0"

∃x Q(x)="x

2

 -1 >0" , x∈ℜ   Telah memiliki nilai kebenaran, yaitu :BENAR 

Kuantifikasi juga dapat dilakukan pada fungsi proposisi dengan cacah variabel 2

atau lebih.  Perhatikan :

∀x ∀y Q(x)="x

2

 + y

2

 >0" , x,y∈ℜ   

dibaca:"Untuk Semua x untuk semua y berlaku x

2

 + y

2

 >0"

sebuah proposisi yang salah karena untuk x=0 dan y=0 : 0+0>0 adalah salah.
Contoh : Tentukan nilai kebenaran proposisi-propossisi berikut :

1. ∀x Q(x)="x + 1 > x" , x∈ℜ   

2. ∀x ∃y Q(x)="x

2

 + y >0" , x,y∈ℜ  

3. ∃x∀y Q(x)="x

2

 + y >0" , x,y∈ℜ   

4. ∃x∃y  Q(x)="x

2

 + y >0" , x,y∈ℜ   

Jawab:

1. BENAR karena semua bilangan real +1 selalu lebih besar dari bilangan

itu sendiri. 

2. BENAR, karena untuk setiap x real , selalu ada y sehingga x

2

 + y >0

menjadi benar. Untuk x>0 y>0 maka x

2

 + y >0 selalu benar. 

Untuk x =0 akan ada y (misal ambil y>0) sehingga x

2

 + y >0 selalu

benar. 

Untuk x <0 maka kuadrat x >0 sehingga akan ada y sehingga x

2

 + y >0

selalu benar. 

3. SALAH, karena jika diambil sembarang x : misal x= 3 maka tidak dapat

ditemukan SEMUA y bilangan real sehingga x

2

 + y >0 menjadi selalu

benar. Hanya ada sebagian y saja , yaitu untuk y > -3

4. BENAR, karena dipilih sembarang X  selalu ada Y sehingga x

2

 + y >0

benar.

Ekivalensi Kuantor Universal/Existensial  Dengan Konjungsi /Disjungsi :

Andaikan seluruh semesta pembicaraan x dapat didaftarkan menjadi x1, x2, …,xn

maka kuantor universal dan eksistensial dapat dinyatakan dengan kesetaraan :

1. Kuantor universal  ∀ :

∀x  ⇔ x1  ∧ x2  ∧ x3  ∧ ….  ∧ xn 

2. Kuantor Existensial   ∃ :

∃x  ⇔ x1  ∨ x2  ∨ x3  ∨ ….  ∨ xn 

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran ∃x  P(x) dimana P(x) ="x

2

>10" dengan semesta

pembicaraan adalah bilangan bulat positif tidak lebih dari 4. 

Jawab : Semesta pembicaraan x adalah : 1,2,3,4

∃x  P(x) ⇔ P(x1) ∨ P(x2) ∨ P(x3) ∨ P(x4)

        ⇔ P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4)

                    ⇔ (1

2

>10)  ∨ (2

2

>10)  ∨ (3

2

>10) ∨ (4

2

>10) 

        ⇔ F ∨ F ∨ F ∨ T 

⇔ T

Baca selengkapnya » 0 komentar

Dalam statemen IF ..THEN … misalnya :

 IF  X<5 THEN Y:=12

X<5 adalah PROPOSISI setelah sebelumnya X diberi nilai tertentu

Y:=12 bukanlah proposisi tetapi statemen pengisian (ASSIGNMENT)nilai Y dengan

data 12 

Catatan lain dalam implikasi adalah bahwa hubungan "jika p maka q" tidak

mensyaratkan hubungan sebab akibat, misalnya :

1. p = "kamu belajar" , q = "kamu lulus ujian"

Proposisi : pÆq dapat dimaknai : "jika kamu belajar maka kamu lulus ujian"

Disini terlihat hubungan kasusalitas 

2. p="1+1 = 2"  q="Jakarta ibokota Indonesia"

Proposisi : pÆ q   berarti :"Jika 1+1=2 maka Jakarta ibukota Indonesia"

Kalimat tersebut tampak "aneh" dan tidak logis, tetapi dari sisi operasi implikasi

kalimat tersbut masih dapat diterima.

1.3. Ekivalensi proposisi majemuk

Proposisi-proposisi tunggal dapat digabung menjadi proposisi gabungan

disebut COMPOUND PROPOSITION (komposisi majemuk). Komposisi majemuk

ini dapat bernilai SELALU benar atau selalau salah.

TAUTOLOGY : komposisi majemuk yang bernilai selalau benar, misal : p ∨ ¬ p 

CONTRADICTION : komposisi majemuk yang bernilai selalu salah, misal : p ∧ ¬

p 

Tautlogy dan kontradiksi dapat dibuktikan dari tabel kebenaran berikut :

P  ¬ p  p ∨ ¬ p  p ∧ ¬ p

 T

F

 F

T

 T

T

F

F

EKIVALENSI : ( ⇔ )
Proposi majemuk juga dinyatakan sebagai EKIVALEN SECARA LOGIKA

(logically equivalence) jika proposisi-proposisi tersebut memiliki tabel kebenaran

yang sama.

Contoh 1.7. : Ujilah apakah ekivalensi ini benar : 

                      ¬ (p ∨  q) ⇔   ¬ p ∧ ¬ q

Jawab :

Untuk menjawab ekivalensi ini dapat ditempuh dengan beberapa langkah :

Langkah 1: 

Buat dua kolom tabel kebenarn p dan q

p q 

 T

T

F

F

 T

F

T

F

Langkah 2: 

Tambahkan satu kolom dan cari kebenaran p ∨ q . 

P q   p ∨ q

 T

T

F

F

 T

F

T

F

T

T

T

F

Langkah 3: 

Tambahkan satu kolom dan cari kebenaran  : ¬ (p ∨ q) .  Dengan membalik saja.

Pada langkah 3 ini kebenaran dari RUAS KIRI sudah ditentukan.

P q   p ∨ q  ¬(p ∨ q)

 T

T

F

F

 T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

Langkah 4: 

Tambahkan DUA kolom untuk ¬p  dan kolom ¬ q . Isikan kebenarnnya.

P q   p ∨ q  ¬(p ∨ q) ¬p  ¬q

 T

T

F

F

 T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

T

T

F

T

F

T

Langkah 5: 

Tambahkan satu kolom (terakhir) yaitu kolom proposisi :  ¬p   ∧    ¬ q . Isikan

kebenarnnya. Diperoleh :

P q   p ∨ q  ¬(p ∨ q) ¬p  ¬q  ¬p  ∧  ¬ q

 T

T

F

F

 T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

T

T

F

T

F

T

F

F

F

T

Pembuktian selesai : nampak kolom ¬(p ∨ q) dan kolom ¬p  ∧  ¬ q memiliki

kebenaran yang sama. Kesimpulan adalah benar ekivalensi :

¬(p ∨ q) ⇔ ¬p  ∧  ¬ q

LATIHAN :

1. Tentukan apakah ekivalensi ini benar? 

           ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p Æ q 

2. Buktikan ekivalensi 

            pÆq  ⇔  (p∧¬q) Æ (r∧¬r) 

            petunjuk : Untuk menguji ekivalensi melibatkan 3 variabel mula-mula susun

3       kolom kebenaran dari variabel penyusunnya, kolom p,q dan r. BAB II

LOGIKA PREDIKATIF 

1.2. Predikat  dan Fungsi Proposisi

Perhatikan kalimat berikut :

"john seorang mahasiswa"

"andi seorang mahasiswa"

Dua buah kalimat tersebut mengandung dua bagian yaitu "John", "Andi"  dan

"seorang mahasiswa". Bagian pertama dapat digantikan oleh nama-nama orang

siapapun, sehingga dapat juga diganti dengan x. Bagian kedua adalah keterangan

tentang bagian pertama. Bagian kedua   disebut sebagai PREDIKAT dari bagian

pertama. 

 Dua kalimat tersebut merupakan  proposisi yang dapat diubah menjadi

kalimat terbuka.

 "x seorang mahasiswa"

Selanjutnya predikat dapat dinotasaikan dengan sebuah huruf besar, yaitu  misalnya

P. Sehingga jika P mewakili predikat  "seorang mahasiswa"

 "john seorang mahasiswa" dapat ditulis sebagai P(john)

 "andi seorang mahasiswa" dapat ditulis sebagai P(andi)

dan

 "x seorang mahasiswa" ditulis sebagai P(x)

Pada pembahasan selanjutnya predikat dinotasikan sebagi huruf besar dan objek

yang dikenai predikat tersbut diwakili oleh huruf kecil.

 P(x) merupakan statemen yang belum  dapat diberi nilai kebenaran. P(x)

disebut sebagai fungsi proposisi.

1.3. Fungsi proposisi dengan dua atau lebih variabel  

Perhatikan kalimat berikut :

"john duduk di depan andi"

Jika predikat "duduk didepan" dinotasikan dengan Q, maka :

Q(john,andi) bermakna : john duduk didepan andi" 

Q(x,y) bermakna : x duduk didepan y, yang merupakan fungsi proposisi dua

variabel.

Q(y,x) bermakna : y duduk didepan x, yang merupakan kondisi yang lain dengan

Q(x,y).

Pada fungsi proposisi dua variabel atau lebih, maka urutan variabel harus

diperhatikan. Urutan variabel yang berbeda memiliki makna yang berbeda.

 Perhatikan kalimat :

"siti duduk diantara joko dan sano"

Fungsi proposisi R(x,y,z) dapat diajukan. R memiliki arti "duduk diantara .. dan .."

"ali dan rudi bermain melawan romeo dan yuli"

Fungsi proposisi S(a,b,c,d) dapat diajukan dengan S="bermain melawan" 

1.4. Operasi pada Fungsi proposisi  

Dua atau lebih fungsi proposisi dapat digabungkan membentuk fungsi proposisi

yang baru. 

Perhatikan kalimat berikut :

"Jika joko pelajar maka ia dapat korting"

Dapat diekspresikan : P(joko) ÆQ(joko)

Dimana: P = "seorang pelajar"

              Q= "mendapat korting"

"Jika seseorang adalah pelajar maka ia akan dapat koritng"

ditulis : P(x) Æ Q(x)

Kalimat :

 "Jika seseorang rajin belajar dan ikut ujian , ia tak akan tinggal kelas"

dapat dinotasikan sebagai :

B(x) ∧ U(x) Æ ¬ T(x)

Dimana: B = "rajin belajar "

              U= "ikut ujian

                     T="tinggal kelas"

 

 1.5. Semesta Pembicaraan

Dalam suatu fungsi proposisi yang melibatkan satu, dua atau banyak variabel,

maka masing-masing variabel akan dapat dievaluasi dalam suatu himpunan tertentu

yang disebut sebagai SEMESTA pembicaraan.  Semesta pembicaraan menjadi

memungkinkan menerjemahkan fungsi proposisi menjadi proposisi yang dengan

jelas dapat dievaluasi benar atau salah.

Contoh :

1. M(x)="x adalah seorang mahasiswa"

 Maka semesta pembicaraan x adalah manusia

2. Q(x,y)="x duduk dedepan y"

Semesta pembicaraan x, y adalah orang-orang yang sedang nonton bioskup

3. R(x,y)= "x

2

+y

2

 >0"  

Semesta pembicaraan adalah x,y bilangan real; biasa ditulis : x,y∈ℜ  

1.6. Kuantifikasi Fungsi Proposisi 

Suatu fungsi proposisi dapat diubah menjadi proposisi dengan melakukan

penggantian variabel dengan nilai data yang  dimungkinkan oleh semesta

pembicaraan.  

Contoh :

1. Fungsi proposisi : Q(x)="x adalah binatang galak"

Dengan x adalah semua singa yang hidup didunia

Diubah menjadi proposisi yang BENAR="singa liar dihutan adalah binatang

galak"

Diubah menjadi proposisi yang SALAH="singa sirkus adalah binatang

galak"

2. Fungsi proposisi : R(x,y)="x

2

+y

2

>0" dengan semesta pembicaraan  x,y∈ℜ  

Diubah menjadi proposisi yang BENARÎ"2

2

+3

2

>0"

Diubah menjadi proposisi yang SALAHÎ"0

2

+0

2

>0"

 

Cara lain untuk merubah fungsi proposisi menjadi proposisi dapat juga dengan

cara memberi kuantor (quantifier). Dikenal dua macam kuantor yaitu :

KUANTOR UNIVERSAL (universal quantifier): ∀

"disimbolkan dengan  ∀=dibaca SEMUA"

Contoh : 

             Fungsi proposisi : Q(x)="x

2

 -1 >0" , untuk semesta x bilangan real

Belum memiliki nilai kebenaran.

Jika diberi kuantor ∀ akan menjadi proposisi :

∀x Q(x)="x

2

 -1 >0" , x∈ℜ   

dibaca:"Untuk semua x dengan x bilangan real berlaku x

2

 -1 >0"

 ini adalah proposisi yang SALAH Î karena jika x=0 maka 0

2

-1 <0

Dengan demikian kuantor ∀ membuat Q(x) menjadi proposisi

(bernilai SALAH).

Baca selengkapnya » 0 komentar

LOGIKA PROPOSISI 

 -)Proposisi dan Kalimat terbuka

Perhatikan  stetemen-statemen dalam bahasa sehari-hari berikut ini :

1. Satu hari setelah hari Sabtu adalah hari Minggu

2. Semarang adalah ibukota Indonesia

3. Hari Ini hari Apa ya?

4. Silahkan keluar ruang !

Perhatikan pula statemen-statemen dalam ekspresi matematika berikut ini :

1. 2 + 3 = 11

2. (3+5)10 < 101

3. (X + 10 ) >15

4. (X-Y) = Y +20

Jika diperhatikan kalimat-kalimat di  atas, baik kalimat sehari-hari maupun

statemen matematika maka ada perbedaan yang dapat ditetapkan, yaitu :

- Kalimat pertama dan kalimat kedua adalah kalimat-kalimat yang dapat

ditetapkan sebagai kalimat yang BENAR atau kalimat yang SALAH.

Dengan kata lain statemen pertama dan kedua adalah statemen-statemen

yang dapat diberi nilai kebenaran.

- Kalimat-kalimat yang ketiga dan keempat adalah kalimat-kalimat  yang

tidak dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH, atau statemen tersebut

tidak dapat diberi nilai kebenaran.

Definisi 1: Statemen-statemen yang dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH,

atau statemen yang dapat diberi NILAI  KEBENARAN  dinamakan

sebagai PROPOSISI.

Definisi 2 : Jika statemen tidak dapat ditetapkan sebagai BENAR atau SALAH

tetapi dengan cara tertentu dapat diubah menjadi statemen BENAR atau

SALAH maka statemen tersebut dinamakan sebagai  KALIMAT

1Logika proposisi

2

TERBUKA.  Kalimat terbuka kadang disebut juga sebagai  FUNGSI

PROPOSISI.

Contoh 1.1: Manakah dari statemen-statemen berikut yang merupakan proposisi

dan manakah yang merupakan kalimat terbuka.

1. Indonesia adalah negara miskin

2. Jepang adalah negara miskin juga

3. Negara itu adalah negara miskin

4. (2 + 9 ) =X +13

Jawab :   

1. Statemen 1. adalah proposisi, bernilai BENAR

2. Statemen 2 adalah proposisi, bernilai SALAH

3. Statemen 3 adalah kalimat terbuka, bisa benar bisa salah

4. Statemen 4 adalah kalimat terbuka, bisa benar bisa salah

1.2. Pengubahan Kalimat terbuka menjadi proposisi

Kalimat terbuka pada statemen 3  dapat diubah menjadi BENAR atau

SALAH jika variabel Negara digantikan negara tertentu. Demikian juga statemen 4

dapat diubah menjadi benar atau salah dengan mengganti X dengan nilai tertentu.

Dalam pembahasan lain mencari X pada kalimat terbuka dalam suatu

hubungan persamaan atau pertidaksamaan  sedemikian sehingga kalimat terbuka

MENJADI PROPOSISI yang BERNILAI BENAR sering dinamakan menyelesaikan

persamaan/pertidaksamaan atau mencari akar persamaan/pertidaksamaan.

Contoh 1.2. : Perhatikan kalimat terbuka berikut :

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real

  Ubahlah agar menjadi proposisi. Ubahlah pula menjadi proposisi

YANG BENAR.

Jawab :  Untuk "sekedar" merubah menjadi proposisi maka sembarang nilai X dapat

diberikan, sehingga misalnya :

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real dan X adalah 5 (sembarang)

    Kalimat tersebut adalah proposisi (meskipun nilainya salah).

    Untuk merubah menjadi proposisi yang benar, kalimatnya : Logika proposisi

3

    X

2

 - 4X =-3 untuk X bilangan real dan X bernilai 1 ATAU 3. 

1.2. Operasi pada  proposisi

Satu atau lebih proposisi dapat dioperasikan membentuk proposisi baru

dengan beberapa operasi logika.

a. NEGASI ( ¬ )

Negasi dari suatu proposisi p adalah proposisi yang memiliki nilai kebenaran

KEBALIKAN (ingkaran) dari nilai kebenaran proposisi p. Negasi dari p

dinotasikan sebagai : ¬ p

Negasi dari suatu proposisi memiliki kebenaran seperti tersaji dari tabel

kebenaran sebagai berikut :

p  ¬ p

T

F

F

T

       T = True

       F = False

Contoh 1.3. : carilah negasi dari proposisi-proposisi berikut :

1. Jakarta ibukata indonesia

2. 2+3 =7

Jawab :

1. Tidaklah benar Jakarta ibukota indonesia

2. Tidak benar bahwa 2+3=7

b. KONJUNGSI  (∧) (AND)

Jika dimiliki proposisi p dan q maka konjungsi (dibaca :"DAN") dari proposisi p

dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut.

P q  p ∧ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F Logika proposisi

4

Contoh 1.4 :

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi majemuk berikut :

Jika p bernilai T dan q bernilai F tentukan nilai kebenaran proposisi berikut :

1. ¬ p ∧q 

2. (p∧q) ∧ ¬ p

3. ¬ (p∧q) ∧ (¬ p)

Jawab :

Berdasarkan nilai awal p dan q dan tabel kebenaran adalah :

1. ¬ T ∧ F  ⇔ F ∧ F  

                     ⇔ F

2. (T∧F) ∧ ¬ T  ⇔ (F) ∧ ¬ T 

                              ⇔ (F) ∧  F 

                              ⇔ F

3. ¬ (T∧F) ∧ (¬ T) ⇔ ¬ (F) ∧ (F) 

⇔ T ∧ (F)

⇔ F

c. DISJUNGSI  (∨) (OR)

Jika dimiliki proposisi p dan q maka konjungsi (dibaca :"ATAU") dari proposisi 

p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut. 

P q  p ∨ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

T

T

F

Contoh 1.5. :

Buatlah notasi-notasi yang sesuai untuk pernyataan-pernyataan berikut :

1. Tidak benar bahwa saya tidak datang ke pesta Logika proposisi

5

2. Saya akan datang ke tempatmu jumat atau selain senin

3. Saya dan dia makan di rumah atau kamu makan di restoran

Jawab :

1.  p="pergi ke pesta" , kalimat pertama di notasikan sebagai   ¬ ¬ p

2.  p ="saya datang ke tempatmu jumat" dan q="saya datang ketempat mu senin"

     proposisi no.2 menjadi : p ∨ (¬q)

3. p="saya makan dirumah"  , q="dia makan dirumah"  r="kamu mmakan di

restoran"

proposisi no.3. menjadi : (p ∧ q) ∨ r

Contoh 1.6. :

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut jika :

P = T , q = T dan r = T

1. ¬p ∨ ¬q 

2. ( p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r)

3. ¬(p∨q) ∧(¬q)∨(p∧r)

Jawab:

1. ¬p ∨ ¬q  ⇔ ¬T ∨ ¬T  

                      ⇔ F ∨ F 

                      ⇔ F 

2. ( p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ r) ⇔  ( T ∧ ¬T) ∨ (T ∧ T) 

                                     ⇔  ( T ∧ F) ∨ (T ∧ T)

⇔ ( F) ∨ (T ) 

⇔ T

3. ¬(p∨q) ∧(¬q)∨(p∧r) ⇔ ¬(T∨T) ∧(¬T)∨(T∧T) 

                                         ⇔ ¬(T) ∧(F)∨(T) 

                                         ⇔ (F) ∧(F)∨(T) 

                                         ⇔ (F)∨ (T) 

                                         ⇔ T Logika proposisi

6 d. EXCLUSIVE OR (XOR)  (⊕)

Jika dimiliki proposisi  p dan  q maka EXCLUSIVE OR (XOR) dari proposisi  p

dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai berikut.

P q  p ⊕ q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

T

F

Perlu diberi catatan untuk mudah membedakan OR dan XOR adalah pada XOR

hanya kan bernilai TRUE jika dau proposisi bernilai berbeda: T dan F atau F dan T .

 e. IMPLIKASI   (→  ) 

Jika dimiliki proposisi  p dan  q maka IMPLIKASI pÆq  (dibaca : JIKA p

MAKA q) dari proposisi  p dan q adalah proposisi dengan tabel kebenaran sebagai

berikut.

P q p Æ q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

T

T

Dalam implikasi pÆq maka : 

p disebut hipotesis/antesede/premis

q disebut konklusi /kesimpulan

Catatan : pÆq meskipun dibaca jika p maka q tidaklah sama dengan statemen

dalam bahasa pemrograman, yaitu statemen : if .. then

Dalam IMPLIKASI :  p  Æ  q  maka baik p maupun q keduanya adalah proposisi

yang dapat bernilai benar atau salah.

Baca selengkapnya » 0 komentar